本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=3^3x^2+2x+1的图像的主要步骤。工具/原料more多项式相关知识主要方法与步骤1/11分步阅读

函数y=3^3x^2+2x+1的定义域，函数基本类型为指数函数，由函数特征知函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

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在复合函数当中，内层函数和外层函数在相同的定义域内有相同的增减性或不同的增减性。

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dy/dx=2^(3x^2+2x+1)*ln2*(6x+2)

d^2y/dx^2

=ln2*

=ln2*2^(3x^2+2x+1)

∵(6x+2)^20,∴(6x+2)^2*ln2+60,

即d^2y/dx^20，则函数y=3^3x^2+2x+1的图像为凹函数。

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∵y=2^(3x^2+2x+1）,

∴dy/dx=2^(3x^2+2x+1)*ln2*(6x+2),

令dy/dx=0,则：6x+2=0,即x=-1/3.

(1)当x∈(-∞，1/3)时，dy/dx0,函数为减函数；

(2)当x∈(-1/3,+∞)时，dy/dx0,函数为增函数。

则当x=-1/3时，函数有最小值，即：

ymin=2^=2^(2/3).

可知函数y=3^3x^2+2x+1的值域为：[2^(2/3),+∞)

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函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数y=3^3x^2+2x+1的凸凹性。

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dy/dx=2^(3x^2+2x+1)*ln2*(6x+2)

d^2y/dx^2

=ln2*

=ln2*2^(3x^2+2x+1)

∵(6x+2)^20,∴(6x+2)^2*ln2+60,

即d^2y/dx^20，则函数的图像为凹函数。

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函数y=3^3x^2+2x+1的极限，判断函数在无穷大处的极限。

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该函数y=3^3x^2+2x+1上不分点的列表，形成如下五点图，列表如下：

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函数的示意图，综合以上函数的单调性、凸凹性、极限等性质，函数y=3^3x^2+2x+1的示意图如下：

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※举例求点A(0,2)处的切线和法线方程。

在点A(0,2)处，有:dy/dx=4*ln2,即为切线的斜率，

则切线方程为：y-2=4ln2*x,

法线的斜率与切线的斜率乘积为-1，即可求出法线方程为：

y-2=-x/4ln2.

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※举例求点B(-1/3, 2^(2/3))处的切线和法线方程。

在点B(-1/3,2^(2/3))处，有:

dy/dx=ln2*0=0,即为切线的斜率，

则切线方程为：y=2^(2/3),

此时法线的斜率不存在，则法线方程为：

x=-1/3.

注意事项

导数是画函数的图像的基础工具

导数函数单调性凸凹性