证明过程：令F（x）=f（x）-x，F（x）关于x求导的出F（x）的导数等于f（x）导数-1，

因为f（x）导数在（0,1）内小于1，所以说F（x）导数小于0，在定义域上恒成立。

所以F（x）在定义域上为减函数，0F（0）=f（0）-0=f（0）1。

0F（1）=f（0）-1。由零点定理F（x）=0在存在实根，又因为F（x）单调递减，所以F（x）=0只有一个实根，所以f（x）=x在（0，1）内只有一个实根。

扩展资料：

零点定理：

如果函数y= f（x）在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）*f（b）0,那么，函数y= f（x）在区间（a，b）内有零点，即至少存在一个c∈（a，b）使得f（c）=0，这个c也就是方程f（c）= 0的根。

实根的定理：

定理1，数c是f ( x )的根的充分必要条件是f ( x )能被x - c整除。

定理2，每个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。