因为x是偶数次方，是偶函数：x的奇数次方是奇函数。

既然tanx是奇函数，那么分解后，就只能含奇函数的部分，不能含偶函数的部分。所以任何x的偶数次方项的系数都必须是0才行。

假设f(x)=a0+a1x+a2x+....

f(-x)=a0-a1x+a2x+...

两式相加，并利用奇函数f(x)+f(-x)=0的性质，得;

0=2(a0+a2x+....)

此式恒成立，因此各系数都得是0，

即a0=a2=a4=....=0

性质

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

以上内容参考：百度百科-奇函数