介绍在Mathematica中求解二维直角坐标和极坐标拉普拉斯方程的方法。介绍算子的输入。工具/原料moreMathematica方法/步骤1/8分步阅读

首先，我们可以使用偏导符号自己输入二维直角坐标拉普拉斯方程如图。

偏导符号使用 pd 输入。

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使用DSolve可以求出该方程的解。其中第二个参数是待求变元，写成u或者直接一个u都可。

如图，解出是y+ix和y-ix的两个任意函数的和。

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通过带入具体的C和C，我们可以看到各种满足拉普拉斯方程的解。

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Log]是一个常见的满足拉普拉斯方程的解，我们带入拉普拉斯方程化简，方程成立。

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拉普拉斯方程也可以用拉普拉斯算子表示。

写成Laplacian

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拉普拉斯算子使用 del 输入。接着如图方法输入上下标，上标是2，下标是变量列表。

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使用Laplacian的第三个参数，设置为Polar可以给出极坐标的拉普拉斯算子。

按照传统形式书写如图。

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极坐标使用DSolve得不到解析解。极坐标下，拉普拉斯方程不像直角坐标有简单的形式解。各个解的极坐标表示差异很大。

注意事项

按照复变函数中解析函数的性质，解析函数的实部或者虚部都是拉普拉斯方程的解。